# Brug af &kmplot;

&kmplot; håndterer flere forskellige funktionstyper, som kan skrives på funktionsform eller som en ligning:

- Kartesiske plot kan enten skrives som f.eks. y = x^2, hvor x skal bruges som variabel, eller som f.eks. f(a) = a^2, hvor variablens navn er vilkårligt.

- Parametriske plot ligner kartesiske plot. Koordinaterne for x og y kan skrives ind som ligninger i t, f.eks. x = sin(t), y = cos(t), eller som funktioner, f.eks. f_x(s) = sin(s), f_y(s) = cos(s).

- Polære plot ligner også kartesiske plot. De kan enten skrives ind som en ligning i &thgr;, f.eks. r = &thgr;, eller som en funktion, f.eks. f(x) = x.

- For implicitte plot skrives funktionens navn ind separat fra udtrykket som relaterer x- og y-koordinaterne. Hvis x- og y-variablerne angives via funktionens navn (ved f.eks. at indtaste f(a,b) som funktionsnavn), bruges disse variabler. Ellers bruges bogstaverne x og y som variabler.

- Eksplicitea differentialplot er differentialligninger hvor den største afledede angives i termer af de mindre afledede. Differentiering angives med er mærke ('). På funktionsform ser ligningen ud som f''(x) = f' − f. På ligningsform ser den ud som y'' = y' − y. Bemærk at i begge tilfælde tilføjes (x) ikke i led af lavere orden (du skal altså skrive f'(x) = −f og ikke f'(x) = −f(x)).

Alle indtastningsfelter for ligninger har en knap til højre. Ved at klikke på den vises en avanceret Ligningseditor, som sørger for:

- En mængde matematiske symboler som kan bruges i ligninger, men som ikke findes på normale tastaturer.

- Listen med brugerkonstanter og en knap for at redigere dem.

- Listen med fordefinerede funktioner. Bemærk at hvis du allerede har markeret tekst bruges den som funktionsargument når en funktion indsættes. Hvis for eksempel 1 + x er markeret i ligningen y = 1 + x, og funktionen sinus vælges, bliver ligningen y = sin(1 + x).

Her er et skærmaftryk af &kmplot;'s velkomstvindue
Skærmaftryk

## Funktionstyper

### Kartesiske funktioner

For at indtaste en eksplicit funktion (dvs. en funktion på formen y=f(x)) i &kmplot;, skrives den på følgende form:

    f(x) = udtryk

hvor:

- f er funktionens navn, og kan være en hvilken som helst streng med bogstaver og tal.

- x er x-koordinaten, som skal bruges i udtrykket som følger lighedsteknet. Det er i virkeligheden en vilkårlig variabel, så du kan angive hvilket variabelnavn du vil, men effekten bliver den samme.

- udtryk er det udtryk der skal plottes, givet i passende syntaks for &kmplot;. Se .

### Parametriske funktioner

Parametriske funktioner er dem hvor x- og y-koordinaten defineres med separate funktioner af en anden variabel, som ofte kaldes t. For at indtaste en parametrisk funktion i &kmplot;, følges proceduren for en kartesisk funktion for hver af x- og y-funktionerne. Som for kartesiske funktioner, kan du bruge hvilket variabelnavn du vil for parameteren.

Antag for eksempel at du vil tegne en cirkel, som har de parametriske ligninger x = sin(t), y = cos(t). Efter du har oprettet et parametrisk plot, skrives de passende ligninger i x- og y-felterne, f.eks. xcirkel(t) = `sin(t)` og ycirkel(t) = `cos(t)`.

Du kan indstille yderligere tilvalg for plottet i funktionseditoren:

Minimalt
Maksimalt

  Disse tilvalg styrer intervallet for parameteren t, som funktionen plottes for.

### Funktioner i polære koordinater

Polære koordinater repræsenterer et punkt med dets afstand fra origo (oftest kaldet r), og vinklen en linje fra origo til punktet får med x-aksen (oftest repræsenteret med &thgr;, den græske bogstav teta). For at skrive funktioner ind i polære koordinater, oprettes et nyt polært plot med knappen Opret nyt plot. Udfyld funktionsdefinitionen i definitionsfeltet, inklusive navnet på variablen teta som du vil bruge. For eksempel for at plotte Archimedes spiral r=&thgr;, skrives:

    r(teta) = teta

så hele linjen bliver r(teta)=teta. Bemærk at du kan bruge et hvilket som helst navn for variablen teta, så r(t)=t ville have givet nøjagtig den samme kurve.

### Implicitte funktioner

Et implicit udtryk relaterer x- og y-koordinaterne som en ligning. For eksempel for at oprette en cirkel, oprettes et nyt implicit plot med knappen Opret nyt plot. Skriv derefter følgende i ligningsfeltet (under funktionsnavnefeltet):

    x^2 + y^2 = 25

### Differentialfunktioner

&kmplot; kan plotte eksplicitte differentialligninger. Disse er ligninger på formen y(n) = F(x,y',y'',...,y(n−1)), hvor yk er den k'te afledede af y(x). &kmplot; kan kun tolke den afledes orden som antal mærker som følger funktionsnavnet. For eksempel for at plotte en sinusformet kurve, skal du bruge differentialligningen y'' = − y.

En enkelt differentialligning er dog ikke tilstrækkelig til at bestemme et plot. Hver kurve i plottet skabes med en kombination af differentialligning og randbetingelser. Du kan redigere randbetingelserne ved at klikke på fanebladet Randbetingelser når en differentialligning er markeret. Antal søjler som der sørges for til at redigere randbetingelseren afhænger af differentialligningens orden.

Du kan indstille yderligere tilvalg for plottet i funktionseditoren:

Skridt

  Skridtværdien i nøjagtigheden bruges til numerisk løsning af differentialligningen (ved brug af Runge-Kutta metoden). Dens værdi er den maksimale skridtstørrelse som bruges. En mindre skridtstørrelse kan bruges hvis en del af differentialplottet er zoomet tilstrækkeligt meget ind.

## Kombination af funktioner

Funktioner kan kombineres til at producere nye funktioner. Indtast blot funktioner efter lighedstegnet i et udtryk som om funktionerne var variabler. For eksempel, hvis du har defineret funktioner f(x) og g(x), kan du plotte summen af f og g med:

    sum(x) = f(x) + g(x)

## Ændring af funktionernes udseende

For at ændre udseende på en funktions graf i hovedplotvinduet, markeres funktionen i sidelinjens Funktionseditor. Du kan ændre plottets linjebredde, farve og mange andre aspekter ved at klikke på knappen Udseende længst nede.

Hvis du redigerer en kartesisk funktion, har funktionseditoren tre faneblade. Under den første angiver du funktionens ligning. Fanebladet Afledede lader dig tegne funktionens første- og anden afledede. Med fanebladet Integral kan du tegne funktionens integral.

## Popop-menu

Når der højreklikkes på en plot-funktion eller en enkeltpunkts parametrisk plot-funktion kommer en popop-menu frem. I denne menu er der tre punkter:

Skjul

  Skjuler den valgte graf. Andre plot af grafens funktion vil stadig blive vist.

Fjern

  Fjerner funktionen. Alle dens grafer forsvinder.

Redigér

  Vælger funktion i Funktionseditoren for redigering.

Afhængig af plottype, findes også op til fire værktøjer tilgængelige:

Få y-værdi

  Viser en dialog hvor du kan finde y-værdien som svarer til en specifik x-værdi. Den valgte graf er markeret i dialogen. Indtast en x-værdi i feltet X:, og tryk på returtasten. Den tilsvarende y-værdi beregnes automatisk og vises nedenfor.

Søg efter minimumsværdien

  Søg efter minimal værdi for kurven i et angivet område. Den valgte kurve er markeret i dialogen som vises. Indtast nedre og øvre grænse for området hvor du vil søge efter et minimum.

  Bemærk: Du kan også bede om at plottet skal synliggøre ekstremværdier via dialogen Udseende for diagrammet, som der er adgang til via funktionseditoren.

Søg efter maksimumsværdien

  Dette er det samme som Søg efter minimal værdi ovenfor, men der søges efter maksimale værdier i stedet for minimale.

Beregn integral

  Vælg x-værdierne for grafen i den nye dialog der kommer frem. Beregner integralet og markerer området mellem grafen og x-aksen i det valgte område i grafens farve.